Как правильно пишется «кое-чей»?

В неопределенных местоимениях некто, нечто, некоторый, несколько приставка не- всегда находится под ударением и пишется слитно.

Неопределенные местоимения с приставкой кое- и суффиксами -то, -либо, -нибудь пишутся через дефис. Если кое- отделяется от местоимения предлогом, то пишется отдельно.